Zahlensysteme

Zahlen werden als eine Folge von Ziffern oder anderen Zeichen dargestellt. Die zugrundeliegenden Regeln hierfür legen die verwendeten Zahlensysteme fest. Die Menschen rechnen in der Regel im Dezimalsystem, das auch Zehnersystem genannt wird. In der EDV wird intern das Binärsystem (Dualsystem) verwendet, das mit zwei Ziffern auskommt. Daneben werden weitere Zahlensysteme genutzt, sodass die folgenden Systeme in EDV-Berufen relevant sind und beherrscht werden sollten.

  • Dezimalsystem (Zehnersystem)
  • Binärsystem (Zweiersystem)
  • Hexadezimalsystem (Sechzehnersystem)
  • Oktalsystem (Achtersystem)
Zahlensysteme
Die verschiedenen Zahlensysteme mit Ziffernvorrat

Umwandeln von Zahlen

Das folgende Script kann für Übungszwecke verwendet werden, um Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umzuwandeln. Hierfür muss im Browser JavaScript aktiviert sein. Es können nur positive Zahlen ohne Nachkommastellen eingegeben werden. Außerdem werden keine ungültigen Zahlen angenommen, z.B. Buchstaben als Dezimalzahl. Die Ergebnisse sollten richtig ausgegeben werden. Jedoch kann keine Gewähr dafür übernommen werden. Die Bedienung ist relativ einfach. Wenn man den Cursor in ein Eingabefeld setzt und Ziffern eingibt, werden nach dem Loslassen der Taste bereits Berechnungen durchgeführt und in den übrigen Eingabefeldern werden die umgewandelten Zahlen angezeigt. Welches Eingabefeld für die Eingabe der umzuwandelnden Zahl verwendet wird, kann frei ausgewählt werden.

Rechnen mit den Zahlensystemen

Damit man versteht, wie ein Computer im Binärsystem rechnet, sollte man grundsätzlich verstehen, wie Zahlensysteme aufgebaut sind und wie sie bei Berechnungen eingesetzt werden. Wenn man nämlich die Systematik verstanden hat, dann ist es im Grunde egal, welches Zahlensystem man verwendet. Viele sind hinterher sogar überrascht, wie einfach es geht und dass man eigentlich ganz anders rechnet, als man es ursprünglich gedacht hat. Hierbei spielt die Zahl 0 eine große Rolle, da sie für den Übertrag verwendet wird.

Jedes Kind hat mit Sicherheit schon mal verstecken gespielt. Dabei wird festgelegt, dass man bis zu einer Zahl zählt und danach darf man die Augen öffnen. Wenn man mit 1 anfängt zu zählen, dann wird beim Verstecken spielen niemand einen Fehler sehen. In der EDV wird jedoch damit ein großer Fehler gemacht. Denn, man fängt beim Hochzählen immer mit der kleinsten Einheit an. Da im Ziffernvorrat des Dezimalsystems die Zahl 0 die kleinste Einheit darstellt, muss man auch mit der 0 beginnen und das wird in der EDV auch in der Form praktiziert.

Hierbei ist häufig ein Umdenken erforderlich. Denn, wenn Menschen etwas zählen, dann beginnensie fast immer mit der Zahl 1. Bis ins Mittelalter war in Europa die Zahl 0 sogar unbekannt. Erst ein Mathematiker, der mit den arabisch-indischen Zahlen vertraut war, brachte die Zahl 0 nach Europa.

Dabei hat die Zahl 0 eine entscheidende Bedeutung. Beim Verstecken spielen mag man die 0 noch vergessen können. In der Mathematik bildet sie jedoch die Grundlage des Dezimalsystems mit dem Übertrag. Der Übertrag ist deshalb wichtig, weil man damit Zahlen darstellen kann, die größer sind als der Ziffernvorrat. Schließlich sind Zahlen unendlich und hören nicht bei 9 auf.

Übertrag in Zahlensystemen

Jedes Zahlensystem hat einen Ziffernvorrat, das angibt, welche Ziffern man verwenden kann. Im Dezimalsystem hat man die Ziffern 0 bis 9. Mehr Ziffern stehen nicht zur Verfügung. Das bedeutet, dass man zehn verschiedene Möglichkeiten hat (Anzahl). Die Ziffern im Zahlensystem werden Nennwerte genannt. Die Anzahl der Möglichkeiten nennt man Basis. Im Dezimalsystem ist die Basis 10. Der Grund dafür ist, dass die Menschen 10 Finger haben und diese beim Zählen als Hilfsmittel verwendet wurden und werden. Hätten man nur 8 Finger, würde unser Zahlensystem höchstwahrscheinlich die Basis 8 haben.

Ziffernvorrat im Dezimalsystem
10 Möglichkeiten im Ziffernvorrat des Dezimalsystems

Jetzt beginnen wir an zu zählen. Unser Ziffernvorrat geht von 0 bis 9. Daher fangen wir bei 0 an und zählen bis 9. Danach passiert ein entscheidender Schritt. Aus der 9 wird eine 0 und der Ziffer 0 wird die nächsthöhere Ziffer aus dem Ziffernvorrat vorangestellt. Dann hätten wir die Zahl 10. Wir zählen weiter hoch und sind irgendwann bei 19. Nun passiert genau dasselbe. Aus der 9 wird die Ziffer 0. Statt der 1 wird die nächsthöhere Ziffer 2 vorangestellt und wir haben die Zahl 20.

Wir zählen aber weiter. Nach demselben Prinzip zählen wir bis 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 und schließlich bis 99. Nun passiert im Grunde dasselbe, nur mit dem Unterschied, dass wir 2 Überträge gleichzeitig haben. Aus der rechten 9 wird eine 0. Zur 9 auf der linken Seite kommt der Übertrag. 9+1 ergibt wieder 0 mit einem Übertrag. Jetzt müssen wir wieder die nächsthöhere Zahl aus dem Arbeitsvorrat holen. Links neben der 9 kommt aber keine weitere Zahl mehr, was man mit 0 gleichsetzen kann. Die nächsthöhere Ziffer aus dem Ziffernvorrat ist 1. So entsteht die Zahl 100. Nach 199 würde beim Übertrag die nächsthöhere Ziffer, nämlich 2 aus dem Ziffernvorrat geholt. Auf diese Art und Weise zählt man immer um 1 hoch.

Das ist das Prinzip von Zahlensystemen. Mit diesem Wissen kann man mit allen Zahlensystemen zählen, ganz gleich, ob die Basis 2, 8, 10 oder 16 ist. Nachfolgend sind die Schritte beim Zählen abgebildet.

Übertrag beim Zählen
Beim Übertrag wird immer die nächsthöhere Ziffer der 0 vorangestellt

Übertrag im Dualsystem

Der Übertrag im Dualsystem funktioniert nach demselben Prinzip wie im Dezimalsystem. Wenn man das verstanden hat, sollte es kein Problem sein, im Dualsystem zu zählen. Um die Sache zu vereinfachen, stellen Sie sich einfach vor, der Mensch hätte nur zwei Finger und hat nur die Ziffern 0 und 1 im Ziffernvorrat.

Wir beginnen erneut zu zählen. Statt von 0 bis 9 zählen wir diesmal von 0 bis 1. Denn, mehr Ziffern haben wir im Dualsystem nicht. Wenn wir weiter zählen, passiert dasselbe wie im Dezimalsystem. Diesmal wird aus der 1 eine 0, da mit der 1 der Ziffernvorrat bereits endet und es wird die nächsthöhere Ziffer aus dem Ziffernvorrat vorangestellt. Da wir nur die 1 haben, wird beim Übertrag immer die 1 vorangestellt. In jedem Fall hätte man zunächst die Dualzahl 10 (nicht die Dezimalzahl 10).

Wir zählen weiter und sind im nächsten Schritt bei 11. Wenn wir jetzt weiter zählen, passiert dasselbe wie bei 99 im Dezimalsystem. Beide 1er werden zu 0 und wir haben wieder einen Übertrag und erhalten die Zahl 100. Man sieht, dass man selbst mit einem Zahlenvorrat von 0 und 1 dasselbe Prinzip anwenden und rechnen kann wie beim Dezimalsystem. Es ist nur etwas gewöhnungsbedürftig, z.B. 101 statt 5 zu sagen.

Dualsystem Übertrag
Übertrag im Dualsystem

Stellenwert in Zahlensystemen

Die Wertigkeit einer Ziffer hängt vom Stellenwert der Ziffer ab, die diese in einer Ziffernfolge einnimmt. Die Wertigkeit ist außerdem in den verschiedenen Zahlensystemen unterschiedlich. Im Dezimalsystem haben wir die Basis 10, weil wir 10 verschiedene Ziffern haben. Das bedeutet, die Ziffern werden von Position zu Position um den Faktor 10 multipliziert, Wenn wir z.B. die Zahl 3452 betrachten, so ist die Ziffer 5 (von rechts nach links gesehen) an der zweiten Position. Und 5 x 10 ergibt 50. Die Ziffer 4 befindet sich an dritter Stelle. Also wird die Ziffer wieder um den Faktor 10 multipliziert (4 x 10 x 10) und ergibt 400. Die letzte Ziffer genauso (3 x 10 x 10 x 10=3000). Die Wertigkeit wird im Dezimalsystem als Summe von Potenzen der Basis 10 dargestellt.

Wertigkeit in Zahlensystemen
Wertigkeit nimmt im Dezimalsystem von Stelle zu Stelle um den Faktor 10 zu

Wertigkeit im Dualsystem

Wenn im Dezimalsystem die Wertigkeit von Stelle zu Stelle um den Faktor 10 zunimmt, weil die Basis 10 ist, dann muss es im Dualsystem um den Faktor 2 zunehmen, weil im Ziffernvorrat des Dualsystems 2 Ziffern vorhanden sind. Betrachten wir die Zahl 1101, wieder von rechts nach links gesehen. An zweiter Stelle ist 0 und 0 x 2 ist 0. Die dritte Ziffer ist 1. Nun rechnen wir 1 x 2 x 2, ergibt 4. Die letzte Ziffer (1 x 2 x 2 x 2) ergibt 8. Rechnen wir zusammen. 8 + 4 + 0 + 1=13. Die Dualzahl 1101 ist in Dezimalzahl umgerechnet 13 und es sollte damit nicht schwer fallen, Dualzahlen in Dezimalzahlen umzurechnen.

Wertigkeit Dualsystem
Wertigkeit im Dualsystem nimmt um den Faktor 2 zu

Dasselbe Prinzip kann auf alle Zahlensysteme angewandt werden. Wenn Sie das Prinzip des Übertrags und der Wertigkeit verstanden haben, dann sind die der Berechnung zugrunde liegenden Zahlensysteme völlig egal. Man kann mit allen Zahlensystemen rechnen und unendliche Zahlen darstellen. Und in der EDV müssen sich die Menschen mit dem Dualsystem auskennen, weil der Computer nur im Dualsystem rechnet. Das macht er natürlich nicht, weil er 2 Finger hat, sondern weil in der Elektronik mit An oder Aus nur 2 Zustände eingenommen werden können. Anders ausgedrückt werden nur die Zustände 1 oder 0 eingenommen und das ist die Grundlage der Digitaltechnik, die jeden Mitarbeiter in der EDV-Branche immer begleiten wird.