Zahlensysteme in der EDV

Der Mensch rechnet in der Regel im Dezimalsystem. In der EDV werden verschiedene Zahlensysteme genutzt, wobei ein Computer "eigentlich" nur im Binärsystem rechnet. Die Zahlensysteme, die in der EDV eingesetzt werden sind:

• Dezimalsystem
• Dualsystem
• Hexadezimalsystem
• Oktalsystem

Damit man versteht, wie ein Computer rechnet, sollte man grundsätzlich verstehen, was Zahlensysteme sind und wie sie bei Berechnungen eingesetzt werden. Wir sind uns sicher, Sie werden überrascht sein. Einmal wie einfach das ist und zweitens dass wir selbst ganz anders rechnen, wie wir "eigentlich" gedacht haben.

Jedes Kind hat mit Sicherheit schon mal verstecken gespielt. Dabei wird festgelegt, dass man bis zu einer Zahl zählt, danach darf man die Augen aufmachen. Nun fangen wir mal an bis zehn zu zählen. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Was ist denn dabei werden Sie vielleicht sagen. Wenn Sie genau hinsehen, werden Sie merken, dass hier ein entscheidender Fehler gemacht wurde.

Man fängt immer mit der kleinsten Einheit an zu zählen. Warum beginnen wir dann nicht bei 0? Eigentlich müssten wir zuerst 0 sagen. Weil die Zahl 0 mit nichts gleichgesetzt wird, hat sie beim Zählen keine Bedeutung. Fast alle Menschen beginnen bei 1 an, wenn sie etwas zählen. Bis ins Mittelalter war in Europa die Zahl 0 sogar unbekannt. Erst ein Mathematiker, der mit den arabisch-indischen Zahlen vertraut war, brachte die Zahl 0 nach Europa.

Dabei hat die Zahl 0 eine entscheidende Bedeutung. Beim Verstecken spielen mag man die 0 noch vergessen können. In der Mathematik bildet sie jedoch die Grundlage des Dezimalsystems mit dem Übertrag. Der Übertrag ist deshalb wichtig, weil man damit Zahlen darstellen kann, die größer sind als der Zahlenvorrat. Schließlich sind Zahlen unendlich und hören nicht bei z.B. 9 auf.

Übertrag in Zahlensystemen

Jedes Zahlensystem hat einen Zahlenvorrat. Im Dezimalsystem haben wir die Zahlen 0 bis 9. Mehr Zahlen kennen wir nicht. Das bedeutet, dass wir zehn verschiedene Möglichkeiten haben (Anzahl). Die Ziffern im Zahlensystem werden Nennwerte genannt. Die Anzahl der Möglichkeiten nennt man Basis. Im Dezimalsystem ist die Basis 10. Der Grund dafür ist der, dass wir 10 Finger haben. Hätten wir nur 8 Finger, würde unser Zahlensystem die Basis 8 haben.

Jetzt beginnen wir an zu zählen. Unser Zahlenvorrat geht von 0 bis 9. Daher fangen wir bei 0 an und zählen bis 9. Danach passiert ein entscheidender Schritt. Aus der 9 wird eine 0 und der Zahl 0 wird die nächsthöhere Ziffer aus dem Zahlenvorrat vorangestellt. Dann hätten wir die Zahl 10. Wir zählen weiter hoch und sind irgendwann bei 19. Nun passiert genau dasselbe. Aus der 9 wird die Zahl 0. Statt der 1 wird die Zahl 2 vorangestellt und wir haben die Zahl 20.

Wir zählen aber weiter. Nach dem selben Prinzip zählen wir bis 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 und schließlich bis 99. Nun passiert im Grunde dasselbe, nur mit dem Unterschied, dass wir 2 Überträge gleichzeitig haben. Aus der rechten 9 wird eine 0. Zur 9 auf der linken Seite kommt der Übertrag. 9+1 gibt wieder 0 mit einem Übertrag. Jetzt müssen wir wieder die nächsthöhere Zahl aus dem Arbeitsvorrat holen. Nach 9 kommt aber keine weitere Zahl mehr, also beginnen wir wieder mit der 1. So entsteht die Zahl 100. Nach 199 würde beim Übertrag die nächsthöhere Zahl, nämlich 2 aus dem Arbeitsvorrat geholt. Und so zählen wir immer um 1 hoch.

Das ist das Prinzip von Zahlensystemen. Mit diesem Wissen können Sie in allen Zahlensystemen zählen, egal ob die Basis 2, 8, 10 oder 16 ist. Selbst wenn Sie mal einem Außerirdischen begegnen sollten der 49 Finger hat. :-)

Übertrag im Dualsystem

Der Übertrag im Dualsystem funktioniert nach dem selben Prinzip wie im Dezimalsystem. Wenn Sie das verstanden haben, sollte es kein Problem sein, im Dualsystem zu zählen. Um die Sache zu vereinfachen, denken Sie sich einfach, der Mensch hätte nur zwei Finger und hat nur die Zahlen 0 und 1 im Zahlenvorrat.

Wir beginnen zu zählen. Statt von 0 bis 9 zählen wir diesmal von 0 bis 1. Denn mehr Zahlen haben wir einfach nicht. Wenn wir weiter zählen, passiert dasselbe wie beim Dezimalsystem. Diesmal wird halt aus der 1 eine 0. Und es wird die nächsthöhere Zahl aus dem Arbeitsvorrat vorangestellt. Da wir nur die 1 haben, wird beim Übertrag immer die 1 vorangestellt. Jedenfalls hätten wir die Zahl 10.

Wir zählen weiter und sind bei 11. Wenn wir jetzt weiterzählen, passiert dasselbe wie bei 99 im Dezimalsystem. Beide 1er werden zu 0 und wir haben wieder einen Übertrag und erhalten die Zahl 100.

Man sieht, dass man selbst mit einem Zahlenvorrat von 0 und 1 dasselbe Prinzip anwenden und rechnen kann. Es ist nur etwas gewöhnungsbedürftig, statt z.B. 5 die Zahl 101 zu sagen.

Stellenwert in Zahlensystemen

Die Wertigkeit einer Zahl hängt vom Stellenwert einer Zahl ab, die diese in einer Reihe von Zahlen einnimmt. Die Wertigkeit ist außerdem in den verschiedenen Zahlensystemen unterschiedlich. Im Dezimalsystem haben wir die Basis 10, weil wir 10 verschiedene Zahlen haben. Das bedeutet, die Zahlen werden von Position zu Position um den Faktor 10 multipliziert, Wenn wir z.B. die Zahl 3452 betrachten, so ist die Zahl 5 (von rechts nach links gesehen) an der zweiten Position. Und 5 x 10 ist 50. Die Zahl 4 befindet sich an dritter Stelle. Also wird die Zahl wieder um den Faktor 10 multipliziert (4 x 10 x 10) und ergibt 400. Die letzte Zahl genauso (3 x 10 x 10 x 10=3000). Die Wertigkeit wird im Dezimalsystem als Summe von Potenzen der Basis 10 dargestellt.

Wertigkeit im Dualsystem

Wenn im Dezimalsystem die Wertigkeit von Stelle zu Stelle um den Faktor 10 zunimmt, weil die Basis 10 ist, dann muss es im Dualsystem um den Faktor 2 zunehmen, weil im Zahlenvorrat des Dualsystems 2 Zahlen vorhanden sind. Betrachten wir die Zahl 1101 wieder von rechts nach links gesehen. An zweiter Stelle ist 0 und 0 x 2 ist 0. Die dritte Zahl ist 1. Nun rechnen wir 1 x 2 x 2, ergibt 4. Die letzte Zahl (1 x 2 x 2 x 2) ergibt 8. Rechnen wir zusammen. 8 + 4 + 0 + 1=13. Die Dualzahl 1101 ist in Dezimalzahl umgerechnet 13. So einfach ist das. Dasselbe Prinzip kann auf alle Zahlensysteme angewandt werden. Wenn Sie das Prinzip des Übertrags und der Wertigkeit verstanden haben, dann sind die der Berechnung zugrunde liegenden Zahlensysteme völlig egal. Man kann mit allen rechnen und unendliche Zahlen darstellen. Und in der EDV müssen sich die Menschen mit dem Dualsystem auskennen, weil der Computer nur im Dualsystem rechnet. Das macht er natürlich nicht weil er 2 Finger hat, sondern weil in der Elektronik nur 2 Zustände eingenommen werden können. An oder Aus. Auch anders ausgedrückt, 1 oder 0. Das ist die Grundlage der Digitaltechnik.